1.2.8 Leitwert
Vakuumkammern sind im Allgemeinen über Rohrleitungen mit einer Vakuumpumpe verbunden. Infolge von äußerer Reibung zwischen Gasteilchen und Wandfläche und innerer Reibung der Gasteilchen untereinander (Viskosität) kommt es zu Strömungswiderständen, die sich in Druckunterschieden und Saugvermögensverlusten äußern. In der Vakuumtechnik benutzt man üblicherweise an Stelle des Strömungswiderstands $W$ dessen Kehrwert, den Leitwert $L$ oder $C$ (Conductance). Der Leitwert hat die Dimension eines Saugvermögens und wird meist in [l s-1] oder [m3 h-1] angegeben.
Strömt Gas durch eine Leitung, so stellt sich eine Druckdifferenz $\Delta p$ an den Leitungsenden ein. Es gilt:
\[C=\frac lW=\frac{q_{pV}}{\Delta p}\]
Formel 1-18: Definition Leitwert
Diese Gesetzmäßigkeit ist formal analog zum Ohm’schen Gesetz der Elektrotechnik:
\[R=\frac UI\mbox{ oder }\frac 1R=\frac IU\]
Formel 1-19: Ohm’sches Gesetz
Beim formalen Vergleich von Formel 1-18 mit Formel 1-19 entspricht $q_{pV}$ dem Strom $I$, $C$ dem Kehrwert des Widerstandes $1/R$ und $\Delta p$ der Spannung $U$. Bei der Parallelschaltung von Bauteilen addieren sich die Einzelleitwerte:
\[C_\mbox{ges}=C_1+C_2+\dots+C_n\]
Formel 1-20: Parallelschaltung Leitwerte
und bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände, also die Kehrwerte der Leitwerte:
\[\frac 1{C_\mbox{ges}}=\frac 1{C_1}+\frac 1{C_2}+\dots+\frac 1{C_n}\]
Formel 1-21: Reihenschaltung Leitwerte
Die Leitwerte von Rohren und Rohrbögen sind in den verschiedenen Strömungsbereichen unterschiedlich. Sie sind bei der viskosen Strömung proportional zum mittleren Druck $\bar p$ und bei der molekularen Strömung druckunabhängig. Die Knudsenströmung bildet den Übergang zwischen beiden Strömungsarten und die Leitwerte ändern sich mit der Knudsenzahl.
Abbildung 1.8: Leitwert eines runden glatten Rohrs in Abhängigkeit vom mittleren Druck in der Rohrleitung
Eine einfache Näherung für den Knudsenbereich erhält man durch Addition der laminaren und molekularen Leitwerte. Für exakte Berechnungen des Leitwertes im Bereich noch laminarer und schon molekularer Strömung sowie Leitwertberechnungen unter Berücksichtigung von Inhomogenitäten am Einlauf eines Rohres wird auf die weiterführende Literatur verwiesen.
Im Rahmen dieses Buchs beschränken wir uns auf die Betrachtung der Leitwerte von Blenden und runden, langen Rohren für den laminaren und molekularen Strömungsbereich.
Blenden sind häufige Strömungswiderstände in Vakuumanlagen. Beispiele sind Querschnittsverengungen in Ventilen, Belüftungseinrichtungen oder Blenden in Messdomen für die Saugvermögensmessung. Bei Rohröffnungen an Behälterwänden muss zusätzlich zum Rohrwiderstand auch der Blendenwiderstand der Eintrittsöffnung berücksichtigt werden.
Verblockte Strömung
Betrachten wir die Belüftung eines Vakuumbehälters. Beim Öffnen des Flutventils strömt Luft aus der Umgebung mit dem Druck $p$ unter hoher Geschwindigkeit in den Behälter ein. Die Strömungsgeschwindigkeit erreicht maximal Schallgeschwindigkeit. Hat das Gas Schallgeschwindigkeit erreicht, ist auch der maximale Gasdurchsatz erreicht, mit dem der Behälter belüftet werden kann. Die durchströmende Menge $q_{pV}$ ist unabhängig vom Behälterinnendruck $p_i$. Es gilt für Luft:
\[q_{pV}=15,7\cdot d^2\cdot p_a\]
Formel 1-22: Verblockung einer Blende [11]
| $d$ | Durchmesser der Blende | [cm] |
| $p_a$ | Aussendruck am Behälter | [hPa] |
Gasdynamische Strömung
Steigt nun der Druck im Behälter über einen kritischen Innendruck an, so reduziert sich der Gasstrom und kann mit gasdynamischen Gesetzen nach Bernoulli und Poiseuille berechnet werden. Der durchtretende Gasstrom $q_{pV}$ und der Leitwert sind abhängig von
- Engstem Querschnitt der Blende
- Außendruck am Behälter
- Innendruck im Behälter
- Allgemeiner Gaskonstante
- Absoluter Temperatur
- Molarer Masse
- Adiabaten-Exponent (= Verhältnis der spezifischen bzw. molaren Wärmekapazitäten bei konstantem Druck $c_p$ bzw. konstantem Volumen $c_V$) [12]
Molekularströmung [13]
Verbindet eine Blende zwei Behälter, in denen molekulare Strömungsbedingungen vorliegen (ist also die mittlere freie Weglänge wesentlich größer als der Durchmesser des Behälters), so gilt für die pro Zeiteinheit durchströmende Gasmenge $q_{pV}$
\[q_{pV}=A\cdot \frac{\bar c}4\cdot(p_1-p_2)\]
Formel 1-23: Blendendurchfluss
| $A$ | Querschnitt der Blende | [m2] |
| $\bar c$ | Mittlere thermische Geschwindigkeit | [m s-1] |
Entsprechend zu Formel 1-23 gilt für den Blendenleitwert
\[C_\mathrm{Blende,\,mol}=A\cdot \frac{\bar c}4=A\cdot\sqrt{\frac{kT}{2\pi m_0}}\]
Formel 1-24: Blendenleitwert
| $k$ | Boltzmann-Kostante | [m2 kg s-2 K-1] |
| $m$$0$ | Molekülmasse in kg |
Für Luft mit einer Temperatur von 293 K ergibt sich
\[C_\mathrm{Blende,\,mol}=11,6\cdot A\]
Formel 1-25: Blendenleitwert für Luft in [l / s]
| $A$ | Querschnitt der Blende | [m2] |
| $C$ | Leitwert | [l s-1] |
Mit Hilfe dieser Formel kann man das maximal mögliche Saugvermögen einer Vakuumpumpe mit Ansaugöffnung $A$ bestimmen. Das maximale Saugvermögen einer Pumpe unter molekularen Strömungsbedingungen ist also durch die Ansaugöffnung bestimmt.
Betrachten wir nun Leitwerte von Rohren. Bei laminarer Strömung in einem langen Rohr mit rundem Querschnitt ist der Leitwert des Rohres dem mittleren Druck proportional:
\[C_\mathrm{Rohr,\,lam}=\frac{\pi\cdot d^4}{256\cdot\eta\cdot l}\cdot(p_1+p_2)=\frac{\pi\cdot d^4}{128\cdot\eta\cdot l}\cdot\bar p\]
Formel 1-26: Leitwert Rohr laminar
Für Luft bei 20 °C ergibt sich
\[C_\mathrm{Rohr,\,lam}=1,35\cdot\frac{d^4}l\cdot\bar p\]
Formel 1-27: Leitwert Rohr laminar für Luft
| $l$ | Länge des Rohrs | [cm] |
| $d$ | Durchmesser des Rohrs | [cm] |
| $\bar p$ | Druck | [Pa] |
| $C$ | Leitwert | [l s-1] |
Im molekularen Strömungsbereich ist der Leitwert konstant und hängt nicht vom Druck ab. Er kann betrachtet werden als Produkt des Blendenleitwertes der Rohröffnung $C_\mathrm{Rohr,\,mol}$ mit der Durchtrittswahrscheinlichkeit $P_\mathrm{Rohr,\,mol}$ durch ein Bauelement:
\[C_\mathrm{Rohr,\,mol}=C_\mathrm{Blende,\,mol}\cdot P_\mathrm{Rohr,\,mol}\]
Formel 1-28: Rohr molekular
Die Durchtrittswahrscheinlichkeit $P_\mathrm{Rohr,\,mol}$ kann für unterschiedliche Rohrformen, Bogen oder Ventile durch Monte-Carlo-Simulation mittels Computerprogramm berechnet werden. Hierbei verfolgt man die Bahnen einzelner Gasteilchen durch das Bauteil unter Berücksichtigung von Wandstößen.
Für lange runde Rohre gilt:
\[P_\mathrm{Rohr,\,mol}=\frac 43\cdot\frac dl\]
Formel 1-29: Durchtrittswahrscheinlichkeit für lange runde Rohre
Multiplizieren wir diesen Wert mit dem Blendenleitwert (Formel 1-24), so erhalten wir
\[C_\mathrm{Rohr,\,mol}=\frac{\bar c\cdot\pi\cdot d^3}{12\cdot l}\]
Formel 1-30: Leitwert Rohr molekular
Für Luft bei 20 °C ergibt sich
\[C_\mathrm{Rohr,\,mol}=12,1\cdot \frac{d^3}l\]
Formel 1-31: Leitwert Rohr molekular
| $l$ | Länge des Rohrs | [cm] |
| $d$ | Durchmesser des Rohrs | [cm] |
| $C$ | Leitwert | [l s-1] |
